극대 아이디얼

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 극대 부분 가군
- 2.2. 극대 아이디얼
3. 성질
4. 예시
- 4.1. 극대 부분 가군을 갖지 않는 가군
5. 역사
6. 일반화
참조

1. 개요

극대 아이디얼은 링의 진 아이디얼 I에 대해, I를 포함하는 다른 진 아이디얼이 존재하지 않는 경우를 말한다. 극대 아이디얼은 몫 링이 단순 링이 되는 조건과 동치이며, 가환환에서는 몫 링이 체가 되는 것과 같다. 극대 왼쪽 아이디얼 또는 극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재하는 환을 국소환이라고 부른다. 가환환의 극대 아이디얼은 소 아이디얼이며, 주 아이디얼 정역에서는 0이 아닌 소 주 아이디얼이 극대 아이디얼이다. 크룰 정리에 따르면, 단위원을 갖는 환은 극대 아이디얼을 가지며, 0이 아닌 유한 생성 가군은 극대 부분 가군을 갖는다.

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극대 아이디얼
개요
아이디얼의 다이어그램
분야	환론
정의	이라는 환에서, 과 같지 않은 아이디얼 가 존재하여, 의 다른 아이디얼이 를 진부분집합으로 포함하지 않는 경우, 를 의 극대 아이디얼이라고 함. 의 극대 아이디얼은 과 구별되는 의 고유 아이디얼임.
좌극대 아이디얼 (left maximal ideal)
정의	환 의 좌 아이디얼 가 과 같지 않고, 의 다른 좌 아이디얼에 의해 진부분집합으로 포함되지 않으면, 는 좌극대 아이디얼임.
예시
예시 1	정수 환 ℤ에서 극대 아이디얼은 소수 p에 의해 생성된 아이디얼 (p)임. 이는 ℤ/(p)가 유한체이기 때문임.
예시 2	환이 체이면, 아이디얼은 (0)과 자기 자신밖에 없으므로 (0)이 극대 아이디얼임.
예시 3	불 환에서는 모든 극대 아이디얼이 소 아이디얼임.

2. 정의

환 $R$ 의 진 아이디얼 $I$ (즉, $I \ne R$ )에 대해, 다음 조건들을 만족하면 $I$ 는 $R$ 의 극대 아이디얼이다.

$I \subsetneq J$ 를 만족하는 $R$ 의 다른 진 아이디얼 $J$ 가 존재하지 않는다.
$I \subseteq J$ 를 만족하는 임의의 아이디얼 $J$ 에 대해, $J = I$ 또는 $J = R$ 이다.
몫환 $R/I$ 는 단순환이다.

우 아이디얼에 대해서도 유사하게 정의할 수 있다. 환

R

의 우 아이디얼

A

에 대해, 다음 조건들은

A

가

R

의 극대 우 아이디얼인 것과 동치이다.

$A \subsetneq B$ 를 만족하는 $R$ 의 다른 진 우 아이디얼 $B$ 가 존재하지 않는다.
$A \subseteq B$ 를 만족하는 임의의 우 아이디얼 $B$ 에 대해, $B = A$ 또는 $B = R$ 이다.
몫가군 $R/A$ 는 단순 우 $R$ -가군이다.

극대 우/좌/양측 아이디얼은 쌍대 개념으로 최소 아이디얼과 같다.

2. 1. 극대 부분 가군

환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

의 부분 가군

N\subseteq M

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 가군을 '''극대 부분 가군'''(maximal submodule^영어)이라고 한다.

$N\ne M$ 이며, $M$ 의 임의의 부분 가군 $N'\subseteq M$ 에 대하여, 만약 $N'\supseteq N$ 이라면 $N'=M$ 이거나 $N'=N$ 이다. 즉, $N$ 은 부분 순서 집합 $\operatorname{Sub}(M)\setminus\{M\}$ 의 극대 원소이다. (여기서 $\operatorname{Sub}(M)\setminus\{M\}$ 은 $M$ 의 진부분 가군들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합이다.)
몫가군 $M/N$ 은 단순 가군이다. (이 정의에서, 영가군은 단순 가군이 아니다.)

마찬가지로, 오른쪽 가군의 부분 가군에 대해서도 극대 부분 가군의 개념을 정의할 수 있다. 가군

_RM

의 극대 부분 가군들의 집합을

\operatorname{Max}(_RM)

이라고 표기한다.

주어진 가군에서, 모든 극대 부분 가군들의 교집합을 그 '''근기'''라고 한다. ''R''-가군 ''A''에 대해, '''극대 부분 가군''' ''M''은

M \ne A

를 만족하며, 임의의 다른 부분 가군 ''N''에 대해

M \subseteq N \subseteq A

이면

N = M

또는

N = A

를 만족하는 부분 가군이다. 즉, ''M''은 몫 가군 ''A''/''M''이 단순 가군일 때 극대 부분 가군이다. 환 ''R''의 극대 오른쪽 아이디얼은 가군 ''R''_''R''의 극대 부분 가군과 정확히 일치한다.

단위원을 갖는 환과 달리, 0이 아닌 가군은 반드시 극대 부분 가군을 가질 필요는 없다. 하지만 위에서 언급했듯이, ''유한 생성'' 0이 아닌 가군은 극대 부분 가군을 가지며, 또한 사영 가군도 극대 부분 가군을 가진다.

2. 2. 극대 아이디얼

환

R

가 주어졌을 때, 1차 자유 왼쪽 가군

_RR

의 부분 가군은 왼쪽 아이디얼이며,

_RR

의 극대 부분 가군을 '''극대 왼쪽 아이디얼'''(maximal left ideal^영어)이라고 한다. 즉, 왼쪽 아이디얼

\mathfrak M\ne R

이 극대 왼쪽 아이디얼이라는 것은, 만약

R

의 임의의 왼쪽 아이디얼

_R\mathfrak A

에 대하여, 만약

\mathfrak M\subseteq\mathfrak A

라면

\mathfrak A=R

이거나

\mathfrak A=\mathfrak M

이라는 것이다. 마찬가지로 '''극대 오른쪽 아이디얼'''(maximal right ideal^영어)은 1차 자유 오른쪽 가군

R_R

의 극대 부분 가군이다.

극대 왼쪽 아이디얼 또는 극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재하는 환을 '''국소환'''이라 한다.

가환환

R

의 아이디얼

\mathfrak m\subseteq R

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이러한 아이디얼을 '''극대 아이디얼'''이라고 한다.

극대 왼쪽 아이디얼이다.
극대 오른쪽 아이디얼이다.
$R/\mathfrak m$ 은 체이다.
환의 스펙트럼 $\operatorname{Spec}R$ 의 자리스키 위상에서, $\{\mathfrak m\}$ 은 닫힌 집합이다.

즉,

\operatorname{Max}R\subseteq\operatorname{Spec}R

는 닫힌 점들로 구성된 부분 공간이다. 극대 아이디얼에 대한 몫환으로 얻어지는 체를 '''잉여류체'''라고 한다. 단, 비가환환의 경우 극대 아이디얼에 대한 몫환은 나눗셈환이 아닐 수 있다.

극대 일측 아이디얼과 극대 양측 아이디얼의 정의를 표현하는 다른 동치적인 방법들이 있다. 링 ''R''과 ''R''의 진 아이디얼 ''I''(즉, ''I'' ≠ ''R'')가 주어졌을 때, 다음 동치 조건 중 하나라도 만족하면 ''I''는 ''R''의 극대 아이디얼이다.

''I'' ⊊ ''J''를 만족하는 ''R''의 다른 진 아이디얼 ''J''가 존재하지 않는다.
''I'' ⊆ ''J''를 만족하는 임의의 아이디얼 ''J''에 대해, ''J'' = ''I'' 또는 ''J'' = ''R''이다.
몫 링 ''R''/''I''는 단순 링이다.

일측 아이디얼에 대해서도 유사한 목록이 있으며, 여기서는 우측 버전만 제시한다. 링 ''R''의 우 아이디얼 ''A''에 대해, 다음 조건은 ''A''가 ''R''의 극대 우 아이디얼인 것과 동치이다.

''A'' ⊊ ''B''를 만족하는 ''R''의 다른 진 우 아이디얼 ''B''가 존재하지 않는다.
''A'' ⊆ ''B''를 만족하는 임의의 우 아이디얼 ''B''에 대해, ''B'' = ''A'' 또는 ''B'' = ''R''이다.
몫 모듈 ''R''/''A''는 단순 우 ''R''-모듈이다.

극대 우/좌/양측 아이디얼은 쌍대 개념으로 최소 아이디얼과 같다.

'''F'''가 체이면 유일한 극대 아이디얼은 {0}이다.
정수환 '''Z'''에서 극대 아이디얼은 소수로 생성된 주 아이디얼이다.
더 일반적으로, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 주 아이디얼 정역에서 극대 아이디얼이다.
아이디얼 $(2, x)$ 는 환 $\mathbb{Z}[x]$ 에서 극대 아이디얼이다. 일반적으로 $\mathbb{Z}[x]$ 의 극대 아이디얼은 $(p, f(x))$ 의 형태를 가지며, 여기서 $p$ 는 소수이고 $f(x)$ 는 $\mathbb{Z}[x]$ 의 다항식으로, $p$ 를 법으로 하여 기약이다.
모든 소 아이디얼은 부울 링, 즉 멱등원만으로 구성된 링에서 극대 아이디얼이다. 사실, 모든 소 아이디얼은 임의의 $x \in R$ 에 대해 $x^n = x$ 를 만족하는 정수 $n > 1$ 이 존재할 때 가환 링 $R$ 에서 극대 아이디얼이다.
다항식환 $\mathbb{C}[x]$ 의 극대 아이디얼은 어떤 $c\in \mathbb{C}$ 에 대해 $x-c$ 로 생성된 주 아이디얼이다.
더 일반적으로, 대수적으로 닫힌 체 ''K'' 위의 다항식환 $K[x_1, \dots, x_n]$ 의 극대 아이디얼은 $(x_1 - a_1, \dots, x_n - a_n)$ 형태의 아이디얼이다. 이 결과는 약한 영점 정리로 알려져 있다.

''R''-가군 ''A''에 대해, '''극대 부분 가군''' ''M''은

M \ne A

를 만족하며, 임의의 다른 부분 가군 ''N''에 대해,

M \subseteq N \subseteq A

이면

N = M

또는

N = A

를 만족하는 부분 가군이다. 즉, ''M''은 몫 가군 ''A''/''M''이 단순 가군일 때, 극대 부분 가군이다. 환 ''R''의 극대 오른쪽 아이디얼은 가군

R_R

의 극대 부분 가군과 정확히 일치한다.

단위원을 갖는 환과 달리, 0이 아닌 가군은 반드시 극대 부분 가군을 가질 필요는 없다. 하지만 위에서 언급했듯이, ''유한 생성'' 0이 아닌 가군은 극대 부분 가군을 가지며, 또한 사영 가군도 극대 부분 가군을 가진다.

환과 마찬가지로, 극대 부분 가군을 사용하여 가군의 근기를 정의할 수 있다. 또한, 쌍가군 ''B''의 '''극대 부분 쌍가군''' ''M''을, ''M''을 포함하는 다른 진 부분 쌍가군이 없는 ''M''의 진 부분 쌍가군으로 정의함으로써 극대 아이디얼을 일반화할 수 있다. 그러면 ''R''의 극대 아이디얼은 쌍가군

_RR_R

의 극대 부분 쌍가군과 정확히 일치한다.

3. 성질

가환환에서 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다. 주 아이디얼 정역에서는 영 아이디얼이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다.

제이콥슨 근기는 극대 오른쪽(또는 극대 왼쪽) 아이디얼을 사용하여 정의되는 환의 중요한 아이디얼이다.
R이 아이디얼 m을 가진 단위원을 갖는 가환환이면, k = R/m은 m이 극대 아이디얼일 때 그리고 그 때만 체가 된다. 이 경우, R/m은 잉여류체이다.
L이 극대 왼쪽 아이디얼이면, R/L은 단순 왼쪽 R-가군이다. 반대로, 단위원을 갖는 환에서 모든 단순 왼쪽 R-가군은 이런 방식으로 나타난다.
비가환환의 극대 아이디얼은 가환적인 의미에서 소 아이디얼이 아닐 수 있다. 예를 들어, $M_{n\times n}(\mathbb{Z})$ 를 $\mathbb{Z}$ 위의 모든 $n\times n$ 행렬의 환이라고 하면, 이 환은 임의의 소수 $p$ 에 대해 극대 아이디얼 $M_{n\times n}(p\mathbb{Z})$ 를 갖지만, 이것은 소 아이디얼이 아니다.

3. 1. 포함 관계

가환환의 아이디얼에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

: 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼

특히, 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다. 주 아이디얼 정역에서는 영 아이디얼이 아닌 모든 소 주 아이디얼은 극대 아이디얼이다.^[1]

'''크룰 정리''' (1929): 모든 영이 아닌 단위원을 갖는 환은 극대 아이디얼을 갖는다. 이 결과는 "아이디얼"을 "오른쪽 아이디얼" 또는 "왼쪽 아이디얼"로 대체해도 성립한다. 더 일반적으로, 모든 영이 아닌 유한 생성 가군은 극대 부분 가군을 갖는다는 것이 참이다. 만약 ''I''가 ''R''이 아닌 아이디얼(각각, ''A''가 ''R''이 아닌 오른쪽 아이디얼)이라고 가정하자. 그러면 ''R''/''I''는 단위원을 갖는 환이고(각각, ''R''/''A''는 유한 생성 가군) 따라서 위의 정리를 몫에 적용하여 ''I''를 포함하는 ''R''의 극대 아이디얼(각각, ''A''를 포함하는 극대 오른쪽 아이디얼)이 있다는 것을 결론 내릴 수 있다.^[1]

크룰 정리는 단위원이 없는 환에서는 성립하지 않을 수 있다. 근기환, 즉 제이콥슨 근기가 전체 환인 환은 단순 가군이 없으므로 극대 오른쪽 또는 왼쪽 아이디얼이 없다. 이 문제를 해결할 수 있는 방법에 대해서는 정규 아이디얼을 참조하라.^[1]

단위원을 갖는 가환환에서 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다. 역은 항상 참인 것은 아니다. 예를 들어, 비체 정역에서 영 아이디얼은 극대 아이디얼이 아닌 소 아이디얼이다. 소 아이디얼이 극대 아이디얼인 가환환은 0차원 환으로 알려져 있으며, 여기서 사용된 차원은 크룰 차원이다.^[1]

3. 2. 존재성 (크룰 정리)

초른 보조정리를 사용하면, 환

R

위의 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군

_RM\ne0

은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다는 것을 보일 수 있다. 이를 크룰 정리(Krull’s theorem^영어)라고 한다. 즉,

\operatorname{Max}(_RM)

은 공집합이 아니다.^[7]

특히, 자유 왼쪽 가군

_RR

는 사영 왼쪽 가군이자 유한 생성 왼쪽 가군이며,

R

가 자명환이 아니라면 영가군이 아니다. 따라서,

R

는 항상 하나 이상의 극대 왼쪽 아이디얼을 갖는다.

크룰 정리는 유한 생성 가군이 아닌 가군에 대하여는 성립하지 않을 수 있다.

'''증명:'''

초른 보조정리를 사용하자. 그렇다면, 공집합이 아닌 임의의 전순서 집합

\mathcal S\subseteq\operatorname{Sub}(_RM)\setminus\{M\}

에 대하여,

:

A=\bigcup_{S\in\mathcal S}S

를 정의하였을 때, 다음 두 명제를 증명하면 된다.

$A$ 는 $M$ 의 부분 가군이다. 즉, 덧셈에 대하여 닫혀 있다.
* 증명: 임의의 $a,a'\in A$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $a\in S$ 및 $a'\in S'$ 이 되는 $S,S'\in\mathcal S$ 를 찾을 수 있다. 그렇다면 $a,a'\in\max\{S,S'\}$ 이므로 $a+a'\in\max\{S,S'\}\subseteq A$ 이다.
$A\ne M$ 이다.
* 증명: $M$ 이 유한 생성 왼쪽 가군이므로, $Rm_1+Rm_2+\cdots+Rm_k=M$ 이 되는 $m_1,\dots,m_k\in M$ 을 찾을 수 있다. 귀류법을 사용하자. 만약 $A=M$ 이라면, $m_i\in S_i$ 가 되는 $S_1,\dots,S_k\in\mathcal S$ 를 찾을 수 있는데, 이 경우 $M=\max\{S_1,\dots,S_k\}\in\mathcal S$ 이 되며, 이는 모순이다.

3. 3. 기타 성질

환

R

의 아이디얼

\mathfrak m\subseteq R

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이러한 아이디얼을 '''극대 아이디얼'''이라고 한다.

극대 왼쪽 아이디얼이다.
극대 오른쪽 아이디얼이다.
$R/\mathfrak m$ 은 체이다.
환의 스펙트럼 $\operatorname{Spec}R$ 의 자리스키 위상에서, $\{\mathfrak m\}$ 은 닫힌 집합이다.

가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 반소 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼

특히, 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다. 주 아이디얼 정역에서는 영 아이디얼이 아닌 모든 소 주 아이디얼은 극대 아이디얼이다.

제이콥슨 근기는 환의 중요한 아이디얼로, 극대 오른쪽(또는 극대 왼쪽) 아이디얼을 사용하여 정의할 수 있다.^[1]
''R''이 아이디얼 ''m''을 가진 단위원을 갖는 가환환이면, ''k'' = ''R''/''m''은 ''m''이 극대 아이디얼일 때 그리고 그 때만 체이다. 이 경우, ''R''/''m''은 잉여류체이다.^[1] (비단위환에서는 성립하지 않을 수 있다. 예: $4\mathbb{Z}$ 는 $2\mathbb{Z}$ 에서 극대 아이디얼이지만, $2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 는 체가 아니다.)^[1]
''L''이 극대 왼쪽 아이디얼이면, ''R''/''L''은 단순 왼쪽 ''R''-가군이다. 반대로, 단위원을 갖는 환에서 모든 단순 왼쪽 ''R''-가군은 이런 방식으로 나타난다. 이는 단순 왼쪽 ''R''-가군의 대표자 모음이 실제로 집합임을 보여주는데, ''R''의 극대 왼쪽 아이디얼 집합의 일부분과 대응될 수 있기 때문이다.^[1]
'''크룰 정리''' (1929): 모든 영 아닌 단위원을 갖는 환은 극대 아이디얼을 갖는다.^[1] ("아이디얼"을 "오른쪽 아이디얼" 또는 "왼쪽 아이디얼"로 대체해도 성립한다. 또한, 모든 영 아닌 유한 생성 가군은 극대 부분 가군을 갖는다.)^[1]
크룰 정리는 단위원이 없는 환에서는 성립하지 않을 수 있다.^[1] 근기환 (즉, 제이콥슨 근기가 전체 환인 환)은 단순 가군이 없으므로 극대 오른쪽 또는 왼쪽 아이디얼이 없다. (이 문제 해결 방법은 정규 아이디얼 참조)^[1]
단위원을 갖는 가환환에서 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다. (역은 항상 참이 아니다. 예: 비체 정역에서 영 아이디얼은 극대 아이디얼이 아닌 소 아이디얼이다.) 소 아이디얼이 극대 아이디얼인 가환환은 0차원 환 (크룰 차원 사용)이다.^[1]
비가환환의 극대 아이디얼은 가환적인 의미에서 소 아이디얼이 아닐 수 있다. (예: $M_{n\times n}(\mathbb{Z})$ ( $\mathbb{Z}$ 위 모든 $n\times n$ 행렬 환)은 임의 소수 $p$ 에 대해 극대 아이디얼 $M_{n\times n}(p\mathbb{Z})$ 를 갖지만 소 아이디얼이 아니다.) 그러나 비가환환의 극대 아이디얼은 일반화된 의미에서 소수이다.^[1]

4. 예시

정수환 $\mathbb{Z}$의 극대 아이디얼은 소수 $p$에 대한 주 아이디얼 $(p)$이다. 체의 극대 아이디얼은 영 아이디얼 $\{0\}$뿐이다.

'''힐베르트 영점 정리'''에 따르면, 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 유한 차원 다항식환 $K[x_1,x_2,\dots,x_k]$의 극대 아이디얼은 다음과 같은 꼴이다.

:$(x_1-a_1,x_2-a_2,\dots,x_k-a_k)\qquad(a_1,\dots,a_k\in K)$

체 '''F'''의 유일한 극대 아이디얼은 {0}이다.
정수환 '''Z'''의 극대 아이디얼은 소수로 생성된 주 아이디얼이다.
더 일반적으로, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 주 아이디얼 정역에서 극대 아이디얼이다.
아이디얼 $ (2, x) $는 환 $\mathbb{Z}[x]$에서 극대 아이디얼이다. 일반적으로 $\mathbb{Z}[x]$의 극대 아이디얼은 $ (p, f(x)) $ 형태이며, 여기서 $ p $는 소수이고 $ f(x) $는 $\mathbb{Z}[x]$의 다항식으로, $ p $를 법으로 하여 기약이다.
모든 소 아이디얼은 부울 링(멱등원만으로 구성된 링)에서 극대 아이디얼이다. 모든 소 아이디얼은 임의의 $ x \in R $에 대해 $ x^n = x $를 만족하는 정수 $ n > 1 $이 존재할 때 가환 링 $ R $에서 극대 아이디얼이다.
다항식환 $\mathbb{C}[x]$의 극대 아이디얼은 어떤 $c\in \mathbb{C}$에 대해 $x-c$로 생성된 주 아이디얼이다.
대수적으로 닫힌 체 ''K'' 위의 다항식환 ''K''[''x''₁, ..., ''x''_''n'']^영어의 극대 아이디얼은 (''x''₁ − ''a''₁, ..., ''x''_''n'' − ''a''_''n'')^영어 형태이다. 이 결과는 약한 영점 정리로 알려져 있다.

4. 1. 극대 부분 가군을 갖지 않는 가군

정수환

\mathbb Z

위의 가군

_{\mathbb Z}\mathbb Q

(유리수의 덧셈 아벨 군)은 극대 부분 가군을 갖지 않는다.

5. 역사

볼프강 크룰이 1929년에 초한 귀납법을 사용하여 크룰 정리를 증명하였다.^[8]

6. 일반화

R^영어-가군 ''A''에 대해, '''극대 부분 가군''' ''M''은 ''M'' ≠ ''A''를 만족하며, 임의의 다른 부분 가군 ''N''에 대해 ''M'' ⊆ ''N'' ⊆ ''A''이면 ''N'' = ''M'' 또는 ''N'' = ''A''를 만족하는 부분 가군이다. 즉, ''M''은 몫 가군 ''A''/''M''이 단순 가군일 때 극대 부분 가군이다. 환 ''R''의 극대 오른쪽 아이디얼은 가군 ''R''_''R''의 극대 부분 가군과 정확히 일치한다.

단위원을 갖는 환과 달리, 0이 아닌 가군은 반드시 극대 부분 가군을 가질 필요는 없다. 하지만 위에서 언급했듯이, ''유한 생성'' 0이 아닌 가군은 극대 부분 가군을 가지며, 사영 가군도 극대 부분 가군을 가진다.

환과 마찬가지로, 극대 부분 가군을 사용하여 가군의 근기를 정의할 수 있다. 또한, 쌍가군 ''B''의 '''극대 부분 쌍가군''' ''M''을, ''M''을 포함하는 다른 진 부분 쌍가군이 없는 ''M''의 진 부분 쌍가군으로 정의함으로써 극대 아이디얼을 일반화할 수 있다. 그러면 ''R''의 극대 아이디얼은 쌍가군 _''R''''R''_''R''의 극대 부분 쌍가군과 정확히 일치한다.

참조

_[1] 서적 Abstract Algebra John Wiley & Sons
_[2] 서적 Algebra Springer Science+Business Media|Springer
_[3] 문서 あらかじめ環にネーター環|ネーター性を仮定しておけば、ツォルンの補題を避けることもできる。
_[4] 문서 自明な反例としては整数環 {{math|'''Z'''}} のゼロイデアル {{math|(0)}} がある。これは素イデアルだが、極大イデアルではない。
_[5] 문서 例えば自然な単射 '''Z''' → '''Q'''
_[6] 웹사이트 Mumford's treasure map http://www.neverendi[...]
_[7] 저널 Rings whose modules have maximal submodules 1995
_[8] 저널 Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingung http://resolver.sub.[...] 1929

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